اعداد اول مرسن اعداد اولی به فرم 
هستند که به افتخار نام کشیش فرانسوی مارین مرسن (به انگلیسی: Marin Mersenne)، به این نام خوانده می‌شوند. چرا که مرسن در زمینهٔ اول بودن این نوع اعداد اظهار نظری نادرست اما محرک کرده بود. اولین اعداد مرسن اعداد زیر هستند: ۳, ۷, ۳۱, ۱۲۷, ۸۱۹۱, ۱۳۱۰۷۱, ۲۱۴۷۴۸۳۶۴۷ و ... که متناظر هستند با ... ,۸۹ ,۶۱ ,۳۱ ,۱۹ ,۱۷ ,۱۳ ,۷ ,۵ ,۳ ,۲ =n
اثبات چند قضیه کاربردی در این رابطه
قضیه اول: اگر 
اول باشد، 
نیز باید خود اول باشد.
اثبات: فرض کنیم که حکم نادرست است (برهان خلف). یعنی به ازای مرکبی، 
اول است؛ در این صورت می‌توان را به صورت ضرب دو عدد غیر یک 
نوشت. پس:
پس اگر 
زوج باشد، طبق اتحاد مزدوج و اگر فرد باشد طبق اتحاد چاق و لاغر (لاگرانژ) به عوامل اول تجزیه می‌شود و اول نیست؛ پس به تناقض می‌رسیم و فرض خلف باطل است. پس باید اول باشد.
اعداد مرسن واعداد کامل(تام)
بدیهی است که اعداد مرسن در مبنای دو به صورت 
می‌باشد که برابر 
است (
تا یک).
تعریف: عدد کامل (تام) عددی است که با مجموع مقسوم علیه‌های خود، به جز خودش، برابر باشد. از معروفترین آنها ۶=۳+۲+۱ و ۲۸=۱۴+۷+۴+۲+۱ هستند.
قضیه دوم: هر عدد کامل به صورت 
است که 
اول است.
این‌ها اعداد به شکل مرسن هستند و متعاقباً توان‌های آنها ()اول است. پس با یافتن هر عدد کامل، می‌توان یک عدد مرسن جدید پیدا کرد.
آزمایش لوکاس- لمر
تقسیم آزمایشی اکثراً برای تصدیق مرکب بودن یک عدد مرسن اول پنهان استفاده می‌شود. این آزمایش فوراً نشان می‌دهد که 
به ازای 
مرکب است (به ترتیب با عوامل اول ۲۳، ۴۷، ۱۶۷، ۲۶۳، ۳۵۹، ۳۸۳، ۴۷۹ و ۵۰۳).
یک آزمایش بسیار قدرتمند اولیه برای شناسایی آزمایش لوکاس- لمر است.
ابتدا سه قضیه زیر را مطرح می‌کنیم:
- اگر
به پیمانه ۴ و عدد اول باشد، در این صورت 
، اگر 
اول باشد. - همچنین این درست است که عوامل اول باید شکل
داشته باشند که 
یک عدد مثبت طبیعی است و در عین حال شکل 
یا 
را داشته باشد (آسپنسکی و هیسلت ۱۹۳۹). - یک عامل اول از یک عدد مرسن
(چه اول و چه مرکب) در صورتی عدد ویفریچ اول است که 
. بنابراین یک عدد مرسن نمی‌تواند عدد ویفریچ اول باشد.
آیا عدد کامل فرد وجود دارد؟
می‌دانیم تمام اعداد کامل به صورت حاصل ضرب یک عدد اول مرسن توانی از دو می‌باشند؛ اما در مورد اعداد فرد کامل چه نظریه‌ای وجود دارد؟ اگر این چنین عددی وجود داشته باشد در این صورت، به صورت حاصل ضرب یک مربع کامل در یک عدد اول به توان فرد می‌باشد، این عدد حداقل هشت عامل اول دارد و حداقل بر ۳۷ عدد اول بخش پذیر است (لزومی ندارد که متمایز باشند)؛ این عدد حداقل در مبنای اعشاری ۳۰۰ رقم دارد؛ و یک مقسوم علیه اول بزرگ تر از ۱۰۲۰ دارد.
آیا تعداد اعداد مرسن بی نهایت است؟
این سوال معادل با پاسخ دادن به این سوال است که آیا تعداد نامحدودی عدد کامل زوج است. جواب این است که احتمالاً بله است (زیرا سری هارمونیک واگراست).
آیا تعداد اعداد مرسن مرکب بی نهایت است؟
نظریه اولر: اگر 
باشد و 
اول باشد، در این صورت نیز اول است، اگر و تنها اگر باقی‌مانده تقسیم 
بر برابر 
باشد.
همچنین اگر باشد و اول باشد، در این صورت عدد مرسن مرکب است (این حدس احتمالاً منطقی است از آن جایی که تعداد اعداد اولی که به ازای به صورت 
باشد، بی نهایت است.
نظرات شما عزیزان: